Transformata Fishera

Wprowadzenie

Wiele metod statystycznych stosowanych w analizie technicznej i wykorzystujących do pomiaru ryzyka odchylenie standardowe przyjmuje milczące założenie, że rozkład zmian cen akcji (lub innych aktywów)^[1] na giełdzie papierów wartościowych jest rozkładem normalnym (gaussowskim). Można spotkać prace statystyczne dowodzące, że w istocie rozkład zmian cen nie jest rozkładem normalnym^[2].

Transformata Fishera jest prostym zabiegiem matematycznym przekształcającym zbiór danych wejściowych w zbiór, którego funkcją gęstości prawdopodobieństwa jest funkcją gęstości rozkładu normalnego. Po jednokrotnym zastosowaniu transformaty Fishera, w zbiorze wynikowym mogą być stosowane wszystkie metody statystyczne odpowiednie dla rozkładu normalnego. Do ciekawych wniosków prowadzi także zastosowanie odwrotnej transformaty Fishera.

Zwykła transformata Fishera

Zwykłą transformatę Fishera możemy przedstawić w sposób następujący:

Równanie 1

gdzie:

• x - sygnał wejściowy 
• y - sygnał wyjściowy

Rysunek 1. Przykład transformaty Fishera dla sygnałów X z przedziału <-1,1>

Źródło: opracowanie własne.

W przypadku kiedy sygnał wejściowy x jest bliski wartości przeciętnej, wtedy wartość sygnału wyjściowego y jest bliska wartości x. Jako przykład rozpatrzymy sytuację, gdy x=0,5, wtedy wartość y jest nieznacznie większa od 0,5. Dokładnie wynosi ona 0,54931. W przypadku, gdy wartość sygnału wejściowego jest bliska którejś z wartości skrajnych tj. -1 lub 1, wtedy wartość sygnału wyjściowego jest znacznie większa od wartości x. W ten sposób następuje wzmocnienie wielkości sygnału wyjściowego. Można pokazać^[3], że otrzymana w wyniku zastosowania transformaty Fishera dla rozkładu sinusoidalnego (sygnał wejściowy) gęstość rozkładu prawdopodobieństwa jest zbliżona do gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego. W literaturze przedmiotu przyjęto określać taki stan jako "prawie" gaussowski. Gęstości obu rozkładów tj. sinusoidalnego i "prawie" gaussowskiego są równe w punkcie x=0.

Rysunek 2. Transformata Fishera rozkładu sinusoidalnego ma rozkład zbliżony do gaussowskiego

Źródło: opracowanie własne.

Jeśli teraz wybierzemy określoną ramę czasową (np. horyzont 14 lub 30 sesyjny) i dokonamy rozkładu zmian stóp procentowych wybranego aktywu (lub rozkładu częstości występowania poszczególnych cen tego aktywu), a następnie przeprowadzimy proces normalizacji tego rozkładu, tak aby sygnał wejściowy należał do przedziału <-1,1>, a w dalszej kolejności poddamy sygnał wejściowy transformacie Fishera, to okaże się że ekstremalne zmiany ceny aktywu występują niezwykle rzadko. W ten sposób analitycy mogą wskazać istotne punkty zwrotne na wykresie ceny analizowanego aktywu.

Przykład transformaty Fishera został przedstawiony na rys. 3 - okno drugie od góry. Punkty zwrotne ceny akcji KGHM przy zastosowaniu transformaty są jeszcze lepiej widoczne - transformata tworzy wyraźne szczyty lub dołki szybko reagując na zmianę tendencji. Linią przerywaną zaznaczona została wartość transformaty z poprzedniej sesji - w ten sposób przebicie przez transformatę jej uprzedniej wartości może być wykorzystane w budowie systemów transakcyjnych jako sygnał kupna lub sprzedaży. Dodatkowo można na wykresie transformaty zaznaczyć, podobnie jak w przypadku niektórych wskaźników, poziomy wykupienia i wyprzedania sugerujące możliwość zmiany trendu na przeciwny (punkty: 3, 4, 5 i 6). Przekroczenie poziomów wykupienia lub wyprzedania należy uznać za stan skrajny.

Rysunek 3. Przykład zastosowania transformaty Fishera 14 dniowej na wykresie ceny akcji KGHM

Okno czasowe - 10 sesji, transformowana jest cena średnia 

gdzie:

• H i L oznaczaną odpowiednio najwyższą i najniższą cenę w trakcie sesji.

Źródło: opracowanie własne.

Do transformaty Fishera można wykorzystać także jako sygnał wejściowy wartość oscylatora lub wskaźnika używanego w analizie technicznej. Na rys. 4 przedstawiona została transformata Fishera z oscylatora MACD^[4], a na rys. 3 z oscylatora ROC (okno pierwsze od góry). Na wykresie transformaty powstały także formacje stosowane w klasycznej analizie technicznej:

• Podwójny szczyt (oznaczony jako pkt 2) - drugi szczyt transformaty MACD zbiegł się z sygnałem sprzedaży na MACD. Wcześniejszy szczyt transformaty nie został potwierdzony przez szczyt oscylatora.
• Podwójne dno - sygnalizacja końca korekty spadkowej i początek nowej fali wzrostów z okresu marzec - maj 2006 r.
• Negatywna dywergencja - ostrzeżenie przed korektą spadkową styczeń - marzec 2006 r. Trzeci kolejny szczyt w formacji negatywnej dywergencji pokrył się ze szczytem transformaty Fishera z ceny przeciętnej obliczonej przy zastosowaniu okna 30 sesyjnego.

Warto odnotować fakt, że zmiana horyzontu czasowego liczenia transformaty Fishera dla ceny przeciętnej z 10 na 30 sesji dobrze sygnalizowała dwa szczyt ceny akcji KGHM z października 2005 r. (punkt 4) i stycznia 2006 r. (punkt 5).

Rysunek 4. Przykład zastosowania transformaty Fishera dla oscylatora MACD

Źródło: opracowanie własne.

Okno czasowe - 30 sesji, transformowany jest oscylator MACD (okno pierwsze od góry). W oknie drugim zamieszczona została transformata Fishera z oscylatora MACD, a w trzecim transformata Fishera (30 dniowa) ceny akcji KGHM. W oknie czwartym umieszczony został akcjogram KGHM.Odwrotna transformata Fishera (OTF)

Rozwiązanie równania 1 ze względu na x daje zależność:

Równanie 2

Jeśli teraz sygnał x ma być sygnałem wejściowym, a y wyjściowym to równanie 2 przyjmuje postać (zamiana zmiennych x z y):

Równanie 3

Rysunek 5. Sygnał wyjściowy w odwrotnej transformacie Fishera

Źródło: opracowanie własne.

W przypadku odwrotnej transformaty Fishera dla sygnału wejściowego z przedziału <-0,5; 0,5>, sygnał wyjściowy jest praktycznie równy wielkości sygnału wejściowego. Jednak w przypadku stanów ekstremalnych tj. dla x<-2 i x>2, wartość sygnału wyjściowego jest równa odpowiednio -1 i 1. Główną zaletą odwrotnej transformaty Fishera jest fakt, że sygnał wyjściowy przybiera z dużym prawdopodobieństwem jedną z wartości: -1 lub 1. Bipolarność odwrotnej transformaty Fishera czyni ją idealnym narzędziem wykorzystywanym w analizie technicznej do generowania wskazań kupna lub sprzedaży.

Odwrotna transformata Fishera i oscylator RSI

Jednym z najbardziej popularnych oscylatorów AT jest oscylator siły relatywnej RSI. Konstrukcja oscylatora powoduje, że porusza się on w przedziale od zera do 100. Jeśli od wartości oscylatora odejmiemy najpierw 50 punktów, a następnie wynik przemnożymy przez jedną dziesiątą:

Równanie 4

to wynik będzie należał do przedziału <-5; 5>, a wartość sygnału wyjściowego y do przedziału <-1; 1>. W następnej kolejności przy pomocy przekształcenia (normalizacja):

Równanie 5

powracamy do skali od zera do 100, tak aby łatwiej było narysować przetransformowany i znormalizowany oscylator RSI.

Tabela 1. Przykład obliczenia oscylatora RSI z wykorzystaniem odwrotnej transformaty Fishera

żródło: opracowanie własne.

Wartości oscylatora RSI większe od 60 zostaną przetransformowane do przedziału <88; 100>, zaś wartości RSI mniejsze od 40 do przedziału <0;12>. Wartości RSI z przedziału <40;60> zostaną narysowane jako ostre przejście między stanem niskim i wysokim oscylatora RSI.

Rysunek 6. Ilustracja wzajemnego położenia oscylatora RSI i jego odwrotnej transformaty Fishera na przykładzie indeksu S&P (notowania intraday)

Źródło: opracowanie własne.

Analogiczną operacją możemy przeprowadzić dla średniej ruchomej z RSI - odwrotnej transformacie Fishera poddajemy średnią ruchomą z oscylatora. Punkty zwrotne są nadal bardzo wyraźnie zaznaczone. Na rys. 7 przedstawione zostało wykorzystanie odwrotnej transformaty Fishera w dwugodzinnym trendzie bocznym. Stany wykupienia i wyprzedania odwrotnej transformaty stanowią doskonałe momenty wejścia na rynek lub zamknięcia pozycji długiej.

Rysunek 7. Ilustracja wzajemnego położenia oscylatora RSI i odwrotnej transformaty Fishera z 9 sesyjnej średniej z RSI na przykładzie indeksu S&P (notowania intraday)

Źródło: opracowanie własne.

Odwrotna transformata Fishera bazująca na RSI może zostać wykorzystana do budowy prostego systemu transakcyjnego:

• Sygnał kupna (pozycja długa - Buy) - OTF przekracza poziom 50 pkt w górę,
• Sygnał sprzedaży (zamknięcie pozycji długiej - Exit Long) - kiedy OTF przebywa powyżej 80 pkt a następnie przełamuje poziom 80 pkt od góry
• Sygnał sprzedaży (pozycja krótka - Sell) - OTF przebija poziom 50 pkt w dół.
• Sygnał kupna (zamknięcie pozycji krótkiej - Exit short) - kiedy OTF przebywa poniżej a następnie przełamuje poziom 20 pkt od dołu

Przykład zastosowania takiego systemu transakcyjnego został przedstawiony na rys. 8.

Rysunek 8. Zastosowanie systemy transakcyjnego z OTF w notowaniach intradayowych w przypadku indeksu S&P

Źródło: opracowanie własne.

Kolejną modyfikacją równania nr 3 i nr 4 może być:

Równanie 6

gdzie:

• y - oznacza średnią ruchomą 9 sesyjną ze zmiennej x liniowo ważoną ostatnią ceną^[5]
• z - jest sygnałem wyjściowym ze zmodyfikowanego w ten sposób oscylatora RSI

Rysunek 9. Zastosowanie systemu transakcyjnego z odwrotną transformatą Fishera na przykładzie akcji KGHM

Źródło: opracowanie własne.

W ten sposób możemy stworzyć kolejny system transakcyjny przy wykorzystaniu odwrotnej transformaty Fishera bazująca na RSI:

• Sygnał kupna (pozycja długa - Buy) - OTF przekracza poziom 0,5 pkt od dołu w górę,
• Sygnał sprzedaży (zamknięcie pozycji długiej - Exit Long) - kiedy OTF przebija od góry w dół poziom 0,5
• Sygnał sprzedaży (pozycja krótka - Sell) - OTF przebija poziom -0,5 pkt od góry w dół.
• Sygnał kupna (zamknięcie pozycji krótkiej - Exit short) - kiedy OTF przebija poziom -0,5 od dołu w górę.

Zastosowanie odwrotnej transformaty Fishera z innymi wskaźnikami

Odwrotna transformata Fishera może być wykorzystywana także z innym wskaźnikami analizy technicznej. Jako przykład podajmy jej wykorzystanie z oscylatorem Cyber cycles^[6]. W skrócie dowolny szereg czasowy można rozłożyć na składową trendu i składową cykliczną.

Rysunek 10. Przykład zastosowania odwrotnej transformaty Fishera w przypadku oscylatora Cyber cycle

Źródło: opracowanie własne.

Głównym zadaniem oscylatora Cyber cycle jest znalezienie komponentów cyklicznych przy wykorzystaniu procesu filtrowania^[7]. Na wykresie oscylatora (pierwsze górne okno na rys. 10) widoczne są cykliczne zmiany kierunku charakteryzujące się różnymi amplitudami. Zastosowanie odwrotnej transformaty Fishera uwypukla zmiany kierunku oscylatora i pozwala na generowanie bardziej precyzyjnych sygnałów zmiany trendu: przełamanie przez OTF poziomów -0,5 i 0,5 pkt - drugie okno od góry na rys. 10. W przypadku przedstawionym na rys.10 jako linie sygnalne odwrotnej transformaty Fishera z oscylatora Cyber cycle użyte zostały poziomy -0,5 i 0,5.

Podsumowanie

Rozwój technologii komputerowych i zwiększenie możliwości obliczeniowych powoduje sięganie przez analizę techniczną do coraz bardziej skomplikowanych narzędzi. Jednym z nich jest proces obliczania odwrotnej transformaty Fishera dla cen aktywów z wybranego okna czasowego. Wykorzystanie statystycznych właściwości tej metody pozwala na zastosowanie jej do binarnego generowania wskazań kupna lub sprzedaży analizowanego aktywu oraz wprzęgnięcie tej metody do budowy systemów transakcyjnych.

Bibliografia

1. Achelis S. "Analiza techniczna od A do Z", Oficyna Wydawnicza LT&P, Warszawa 1998.
2. Ehlers J. "Using the Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, November 2002.
3. Ehlers J. "Cybernetic Analysis For Stock And Futures", John Willey & Sons, New York 2004.
4. Ehlers J. "The Inverse Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, May 2004.
5. Murphy J. "Analiza techniczna", WIG-PRESS, Warszawa 1999.
6. Nowakowski J., Borowski K. "Zastosowanie teorii Fischera i Carolana na rynku kapitałowym", Difin, Warszawa 2005.

Strony internetowe:

http://www.prophet.net/analyze/popglossary.jsp?studyid=CCO (odsłona z dnia 29.06.2006).

Referencje

[1] W przypadku transformaty Fishera zastosowanie w analizie technicznej mają raczej ceny aktywów, a nie ich zmiany.

[2] Ehlers J. "The Inverse Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, May 2004.

[3] Ehlers J. "Using the Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, November 2002.

[4] Omówienie konstrukcji i zastosowania w analizie technicznej podstawowych oscylatorów i wskaźników (MACD, ROC i RSI) można znaleźć m.in. w:

1. Murphy J. "Analiza techniczna", WIG-PRESS, Warszawa 1999
2. Achelis S. "Analiza techniczna od A do Z", Oficyna Wydawnicza LT&P, Warszawa 1998.

[5] Liniowa ważona średnia ruchoma przypisuje większą wagę ostatnim cenom, a mniejszą wcześniejszym. Oblicza się ją mnożąc cenę (najczęściej zamknięcia) przez określoną wagę. Poniżej przedstawiony został sposób obliczenia średniej ważonej pięciosesyjnej:

Następnie dzieląc sumę wszystkich iloczynów cen i wag tj. 406 przez sumę wag tj. 15 otrzymujemy średnią liniowo ważoną pięcioseryjną - 27,067.

Ujęcie matematyczne takiego procesu dla średniej N sesyjnej możemy przedstawić jako:

gdzie: 

• C_W - średnia liniowo ważona z okresu N sesji 
• C₀ - cena na zakończenie ostatniej sesji 
• C_-1 - cena na zakończeni poprzedniej sesji 
• C_-N+1 - cena zamknięcia N sesji temu

Więcej na temat zastosowania liniowo ważonej średniej ruchomej i jej zastosowania w analizie technicznej można znaleźć m.in. w: Nowakowski J., Borowski K. "Zastosowanie teorii Fischera i Carolana na rynku kapitałowym", Difin, Warszawa 2005.

[6] Dokładne omówienia konstrukcji tego oscylatora można znaleźć m.in. na stronie internetowej: http://www.prophet.net/analyze/popglossary.jsp?studyid=CCO (odsłona z dnia 29.06.2006).

[7] Oscylator Cyber cycles stanowi narzędzie analizy technicznej wykorzystujące tzw. analizę spektralną podobnie jak transformata Fouriera.